Movendo a média dengan spss

Uji white dilakukan dengan mero residual kuadrat sebagai variabel dependen dengan variabel dependen ditambah dengan kuadrat variabel independen, kemudian ditambahkan lagi dengan perkalian dua variabel independen. Proseguido pengujian dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut: H 0. Tidak ada heterokedastisitas H 1. Ada heterekodastisitas Jika 5, maka tolak H 0 jika obsR-quadrado gt X 2 atau Valor P lt. Untuk melakukan uji branco kita akan gunakan contoh dados pada bahasan uji heteroskedastisitas dengan metode grafik. anda dapat melihatnya disinigtgtgt 1. Jalankan Langkah-Langkah yang sama Persis pada bahasan Regresi dengan Eviews pada bahasan sebelumnya (jika Belum mengerti anda bisa melihatnya langkahnya Disini gtgt) 2. Setelah Hasil didapatkan Analsis regresilinier. Anda dapat memilih VISTA 8211 TESTE RESIDUAL 8211 HETEROSCEDASTICIDADE BRANCA (cross term). seperti berikut ini: 3. Setelah itu akan OUTPUT dikeluarkan sebagai berikut: saída Hasil menunjukkan Nilai adalah ObsR-quadrado sebesar 5,68 sedangkan Nilai probabilitas adalah (qui-quadrado) 0,68 (Lebih daripada Besar 0,05), dengan demikian kita Dapat menerima hipotesis nol dados bahwa tidak mengandung masalah heteroskedastisitas. Download materi ini versi pdf dibawah gtgtgtNov 26, 2009 Metode Suavização de merupakan salah satu jenis teknik yang digunakan dalam analisis series de tempo (runtun waktu) untuk memberikan peramalan jangka pendek. Dalam melakukan suavização (penghalusan) terhadap dados, nilai massa lalu digunakan untuk mendapatkan nilai yang dihaluskan untuk série de tempo. Nilai yang nao kemudian diekstrapolasikan untuk meramal nilai masa depan. Tehnik yang kita kenal dalam metode suavização yaitu Simples Moving Average dan Suavização exponencial. Pada halaman ini, saya hanya akan membhas tentang Média Móvel Simples. Simples Tempo Mínimo Dados série de tempo seringkali mengandung ketidakteraturan yang akan menyebabkan prediksi yang beragam. Untuk menghilangkan efek yang tidak diinginkan dari ini ketidak-teraturan, METODE média mengambil beberapa Nilai yang Sedang diamati, rataan memberikan, dan menggunakannya untuk memprediksi Nilai untuk periode waktu yang datang akan móvel simples. Semakin tinggi jumlah pengamatan yang dilakukan, maka pengaruh metode média móvel akan lebih baik. Meningkatkan jumlah observasi akan menghasilkan nilai peramalan yang lebih baik karena ia cenderung meminimalkan efek-efek pergerakan yang tidak biasa yang muncul pada dados. Média móvel juga mempunyai dua kelemahan yaitu memerlukan dados masa lalu dalam jumlah Besar prediksi ketepatan untuk, dan observasi-Masing Masing bobot diberikan yang sama, ini melanggar Bukti empiris bahwa Semakin observasi terbaru seharusnya Lebih dekat dengan Nilai masa depan maka kepentingan bobotnya akan meningkat pula. Aplikasi Metode Movendo software Média dengan IBM SPSS 23 dapat dilihat pada contoh berikut ini: Berikut kita memiliki dados kunjungan ke Bali dari Januari 2008 hingga Juni 2017 formato dalam excel, os dados diambil website dari Dinas Pariwisata Provinsi Bali: 1. Langkah Pertama adalah memasukkan ke dados Dalam folha de cálculo SPSS 23 sebagai berikut: Data View. (Bagi yang belum jelas tentang cara dados importantes dari excel ke SPSS 23 lihat di passo bahasan ini gtgtgt) 2. Kemudian pada menubar SPSS 23 pilih Transform 8211 Criar série de tempo Seperti Gambar: 3. Setelah itu akan muncul kotak diálogo, pilih Visite dan Klik panah sehingga variabel visita berpindah ke kolom variabel 8211 Nova Variabel di sebelah kanan. 4. Setelah itu pilih pada kotak função pilih Média Móvel Centrada, atau bisa juga Prior Moving Average. 5. Kemudian isikan extensão dengan 3, dan klik mudança. Span diisi dengan angka 3 artinya mengalami proses 3 kali suavização yang biasa kita kenal juga dengan Média Móvel Ponderada. Adapun proses 1 dan 2 kali suavização kita sebut Single Moving Average dan média móvel. Jangan lupa untuk klik mudar ágar variabel visita1 berubah menjadi visi3, kemudian ok. 6. Saída yang didapat metode dari Centrado Média Móvel 8211 Móvel Ponderada adalah Média sebagai berikut: Diatas saída Dari, dapat diketahui bahwa Kunjungan pada bulan-bulan berikutnya dapat kita Lihat dari variabel baru yang dihasilkan tempo dari análise de séries metode centrada média móvel - móvel ponderada Média. Demikian juga jika kita memilih média móvel anterior, keduanya merupakan metode móvel simples expectativa média dengan 3, maka Hasil peramalannya akan sama. (Yoz) Aplikasi Metode exponencial dengan SPSS akan dibahas pada Halaman selanjutnya gtgtgt Publicado por ariyoso Teori amp Konsep Statistik Konsep Variabel Kualitatif dan Kuantitatif Tipe dados Statistik Deskriptif Konsep Parametrik dan não Parametrik Statistika Inferensia Penyusunan hipótesis Teknik Pengukuran Statistik Teknik amostragem Sebaran Probabilitas Diskret Sebaran normal Sebaran binomial Sebaran Poisson Transformasi dados Korelasi Bivariat Pemaparan dados Kualitatif dengan Tabulasi Silang novo IBM SPSS Ver.23Metode Box - Jenkins (ARIMA ) Metodo peramalan saat ini cukup banyak dengan berbagai kelebihan masing-masing. Kelebihan ini bisa mencakup variável yang digunakan dan jenis dados tempo seriesnya. Nah, dalam penentuan peramalan terbaik ini cukup sulit. Tapi salah satu tehnik peramalan paling sering digunakan adalah ARIMA (autoregresif média média móvel). ARIMA ini sering juga desenho metode runtun waktu box-jenkins. Dalam pimbahasan kali ini kita akan sedikit membahas ARIMA. Modelo ARIMA adalah modelo yang secara penuh mengabaikan independente varibel dalam pembuatan peramalan. ARIMA é um grupo que possui uma variedade de elementos que dependem de um grupo de pergaminho e um grupo de indivíduos. Namun untuk, peramalan, jangka, panjang, ketepatan, peramalannya, kurnag, baik. Tujuan ARIMA adalah untuk menentukan hubungan statistik yang baik antar variável yang diramal dengan nilai historis variável tersebut sehingga peramalan dapat dilakukan dengan model tersebut. ARIMA digunakan untunk suatu variabel (univariada) deret waktu. Untuk mempermudah dalam menghitung modelo ARIMA dapat digunakan berbagi aplikasi diantaranya EViews, Minitab, SPSS, dll. dalam pembahasan kali ini menggunakan aplikai EViews 6.0. Modelo de Klasifikasi ARIMA: Modelo ARIMA dibagi dalam 3 unsur, yaitu: modelo autoregresif (AR), média móvel (MA), dan Integreted (I). Ketiga unsur ini bisa dimodifikya sehingga membentuk modelo baru. Misalnya modelo autoregresif dan média móvel (ARMA). Namun, apabila, mau, dibuat, dalam, bentuk, umumnya, menjadi, ARIMA (p, d, q). P menyatakan ordo AR, d menyatakan ordo Integrado dan q menyatakan ordo movendo avirage. Apabila modelnya menjadi AR maka modelo umumnya menjadi ARIMA (1,0,0). Untuk lebih jelasnya berikut dijelaskan untuk masing-masing unsur. Autoregresif bentuk umum dari modelo autoregresif dengan ordo p (AR (p)) modelo atau ARIMA (P, 0,0) dinyatakan sebagai beikut: maksud dari autoregresif yaitu nilai X dipengaruhi oleh nilai x periode sebelumnya hingga periode ke-p. Jadi yang berpengaruh disini adalá variabel itu sendiri. Mover média bentuk umum dari modelo móvel média dengan ordo q (MA (q)) atau modelo ARIMA (0,0, q) dinyatakan sebagai beriku: maksud dari média móvel yaitu nilai variabel x dipengaruhi oleh erro dari varibel x tersebut. Modelo de dente de umbentuk umum integreted ordo dengan ordo d (I (d)) atau modelo ARIMA (0, d, 0). Dados inteiros disini adalah menyatakan diferença dari. Maksudnya bahwa dalam membuuat modelo ARIMA syarat keharusan eang harus dipenuhi adalah stasioneritas dados. Apabila dados stasioner pada nível maka ordonya sama dengan 0, namun apabila stasioner pada diferente pertama maka ordonya 1, dst. Modelo ARIMA dibagi dalam 2 bentuk. Yaitu modelo ARIMA tanpa musiman dan modelo ARIMA musiman. Modelo ARIMA tanata musiman merupakan modelo ARIMA yang tidak dipengaruhi oleh faktor waktu musim. Bentuk umum dapat dinyatakan dalam persaman berikut. Sedangkan ARIMA musiman merupakan modelo ARIMA yang dipengaruhi oleh faktor waktu musim. Modelo ini biasa disebut Estação ARIMA (SARIMA). Bentuk umum dinyatakan sebagai berikut. Adapun tahap - tahapan pembuatan modelo ARIMA: 1. identifikasi modelo tentatif (sementara) 2. Pendugaan parâmetro 3. cek diagnóstico 1. Identifikasi Pada tahap ini kita akan mencari atau menetukan p, d, dan q. Penantano p dan q dengan bantuan korelogram autokorelasi (ACF) dan korelogram autokorelasi parsial (PACF). Sedangkan 8216d8217 dizentukan dari tingkat stasioneritasnya. ACF Disini mengukur korelasi Antara pengamatan dengan lag ke-k sedangkan PACF merupakan pengukuran korelasi Antara pengamatan dengan lag ke-k dan dengan mengontrol korelasi anttara dua pengamatan dengan lag kurang dari k. Atau, dengan, kata, laf, pacf, adalah, korelasi, antara, yt, yt, k, setelah, menghilangkan, efek, yang, terlágua, diatara, kedua, pengamatan, tersebut.


2. Pendugaan parâmetro Pada tahap ini tidak akan dijelaskan secara teori bagaimana langkah-langkah menduga parâmetro. Mungkin teman-teman bisa mencari di referensi. Dalam menduga parâmetro ini sangatlah susah kalau dikerjakan secara manual. Sehingga diperlukanlah bantuan software-software. Sekarang ini banyak software sekali yang digunakan untuk melakukan análise ARIMA seperti SPSS, EViews dan Minitab. 3. Cek Diagnostik Seteah menduga parâmetro, langkah selajutnya adalah menguji modelo apakah modelnya sudah baik untuk digunakan. Untuk melihat modelo yang baik bisa dilihat dari residualnya. Jika residualnya ruído branco, maka modelnya dapat dikatakan baik dan sebaliknya. Salah satu cara untuk melihat ruído branco dapat diuji melalui korelogram ACF dan PACF dari residual. Bila ACF dan PACF tidak significado, ini mengindikasikan ruído branco residual artinya modelnya sudah cocok. Selain itu dapat dilakukan dengan testar Ljung - Caixa para venda noisenya branco. Apabila hipotesis awalnya diterima maka residual memenuhi syarat ruído branco. Sebaliknya jika hipotesis awalnya ditolak maka residual tidak ruído branco. Esta é uma imagem de um Ljung-Box de Seaview: Dari hasi tersebut mungkin saja ada beberapa modelo yang baik digunakan. Sehingga Langkah selanjutnya dengan memilih modelo terbaik dengan melihat beberapa indicador deitado, seperti AIC, SIC, R2adjusted 4. Previsão Setelah ketiga tahap itu dilewati maka dapat dilakukan peramalan. Peramlan ini sesungguhnya merupakan penjabaran dari persamaan berdasarkan koefisien-koefisien yang didapat, sehingga kita dapat menetukan kondisi di masa yang datang akan. Refrensi: Nachrowi Djalal Nachrowi de Hardius Usman. Ekonometrika untuk analisis ekonomi dan keuangan. 2006. Lembaga Penelitian dan Pemberdayaan Masyarakat. IPB. Modelo Caixa jenkins ARIMA 2006. Escrito por: Nasrul Setiawan Terima kasih sudah membaca artikel Série temporal dengan judul Metode Caixa - Jenkins (ARIMA). Anda bisa bookmark halaman ini dengan URL statistikceria. blogspot / 2017/12 / metode-caixa-jenkins-arima. Apabila ada yang kurang Jelas silahkan tinggalkan komentar atau pesan. Portal - Statistik Bertemu lagi dengan postingan kali ini, setelah lama sekian desligada dari dunia blogger, tidak pernah lagi mengurusi blog, nah pada kesempatan kali ini saya mau berbagi Kembali kepada Semua Sahabat yang tutorial membutuhkan Atau pengetahuan tentang previsão / peramalan, mungkin beberapa hare kedepan saya akan banyak memposting tulisan tentang previsão. Semoga tulisan ini dapat sem mangas. Pada postingan pertama tentang análises runtun waktu kali ini, saya akan berbagi tentang análise runtun waktu yang paling sederhana yaitu metode Média móvel. Análise de resultados de pesquisa de dados de dados de massa de dados de dados de massa de dados e de dados de segurança de dados. Analisis Runtun waktu merupakan salah satu metode peramalan yang menjelaskan bahwa deretan observasi pada Suatu variabel dipandang sebagai realisasi dari variabel bersama berdistribusi aleatória. Gerakan musiman adala gerakan rangkaian waktu yang sepanjang tahun pada bulan-bulan yang sama yang selalu menunjukkan pola yang identik. Contohnya: harga saham, inflasi. Gerakan aleatória adalah gerakan naik turun waktu yang tidak dapat diduga sebelumnya dan terjadi secara acak contohnya: gempa bumi, kematian dan sebagainya. Asumsi yang penting yang Harus dipenuhi dalam memodelkan Runtun waktu adalah asumsi kestasioneran artinya SIFAT-SIFAT yang mendasari proses tidak dipengaruhi Oleh waktu atau proses dalam keseimbangan. Apabila asumsi stasioner imagens de belum dipenuhi maka deret belum dapat dimodelkan. Namun, deret yang nontasioner dapat ditransformações menjadi deret yang stasioner. Pola Dados Runtun Waktu Salah satu ASPEK yang empalidecendo penting dalam penyeleksian metode peramalan yang sesuai untuk dados Runtun waktu adalah untuk mempertimbangkan perbedaan tipe pola dados. Ada empat tipe umum. Horizontal, tendência, sazonal, dan cíclico. Os dados são obtidos por meio de uma seqüência de tingkatan e de um rata-rata. Sebagai contoh penjualan tiap bulan suatu produk tidak meningkat atau menurun secara konsisten pada suatu waktu dapat dipertimbangkan untuk pola horizontal. Os dados de Ketika observam naik atau menurun pada perluasan periode suatu waktu tendência do disebut pola. Pola cíclica ditandai dengan adanya fluktuasi bergelombang dados yang terjadi di sekitar garis tendência. Ketika observasi dipengaruhi olh faktor musiman disebut pola sazonal yang ditandai dengan adanya pola perubahan eang berulang secara otomatis dari tahun ke tahun. Untuk runtun tiap bulan, ukuran variabel komponen sazonal runtun tiap Januari, tiap Februari, dan seterusnya. Untuk runtun tiap triwulan ada elemen empat musim, satu untuk masing-masing triwulan. Única Média Móvel Rata-rata bergerak tunggal (Média Móvel) untuk periode t adalá nilai rata-rata untuk n jumlah data terbaru. Dengan munculnya dados baru, maka nilai rata-rata yang baru dapat dihitung dengan menghilangkan dados yang terlama dan menambahkan dados yang terbaru. Movendo a média em um digunakan untuk memprediksi nilai pada periode berikutnya. Model ini sangata cocok digunakan pada dados yang stasioner atau dados yang konstant terhadap variansi. Tetapi, tidak, dapat, bekerja, dengan, dados, yang, mengandung, unsur, tendência, atau, musiman. Rato-rata bergerak pada orde 1 akan menggunakan data terakhir (Ft), dan menggunakannya untuk memprediksi dados pada periode selanjutnya. Metode ini sering digunakan pada dados kuartalan atau bulanan untuk membantu mengamati komponen-komponen suatu runtun waktu. Semakin besar orde rata-rata bergerak, semakin besar pula pengaruh pemulusan (alisamento). Dibanding dengan rata-rata sederhana (dados saturados de massa lalu) rata-rata bergerak berde T mempunyai karakteristik sebagai berikut. Hanya menyangkut T periode tarakhir dari dados yang diketahui. Os dados de titik de dados de seqüência de dados de rata-rata tidak berubah dengan berjalannya waktu. Kelemahan dari metode ini adalah. Metodo ini memerlukan penyimpanan yang lebih banyak karena semua T pengamatan terakhir harus disimpan, tidak hanya nilai rata-rata. Metode ini tidak dapat menanggulangi dengan baik adanya tendência a ata musiman, walaupun metodo ini lebih baik dibanding rata-rata total. Diberikan N Número de telefone (nó) Data de ativação do sinal de notificação Data de fim de validade Data de fim de semana Data de fim de semana Data de fim de semana Sábado, Abril de 2017 dados de menghasilkan dados de banco de dados: Manjemen ingin meramalkan hasil penjualan menggunakan metodo peramalan yang cocok dengan data tersebut. Bandingkan metode MA tunggal orde 3, 5, 7 dengan aplikasi Minitab dan MA 3x5 dengan aplikasi Excel, manakah metode yang paling tepat untuk Dados de áudio e de vídeo, e dados de áudio de áudio e de vídeo, clique para mostrar o tamanho da fonte, clique para mostrar o tamanho da imagem, clique no ícone para editar o tamanho da letra, clique no ícone para editar o tamanho da letra e clique em OK. Digunakan, buat, nama, variabel Bulan dan Dados kemudian masukkan dados sesuai studi kasus Gráfico 8211 Série de tempo Plot 8211 Simples, masukkan variabel Dados ke kotak Series , Sehingga didapatkan saída seperti gambar. Selanjutnya untuk melakukan previsões dengan metode Moving Average orde simples 3, klik menu Stat 8211 Time Series 8211 Moving Average. . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ESTÁ BEM. Selanjutnya klik button Armazenamento dan berikan centang pada Meios móveis, Fits (previsões de um período antecipado), Residuals, dan Previsões, klik OK. Kemudian klik Gráficos dan pilih Lote predicho versus real dan OK. Sehingga muncul output seperti gambar dibawah ini, Pada gambar diatas, terlihat dengan jelas hasil dari previsão de dados tersebut, pada periode ke-17 nilai ramalannya adala 24, denngan MAPE, MAD, dan MSD seperti pada gambar diatas. Cara peramalan dengan metode Média de Movimento Duplo dapat dilihat DISINI. Ganti saja langsung angka-angkanya dengan dados sobat, hehhe. Maaf, yaa, saya, tidak, jelaskan, lagi, laperr soalnya: D demikian postingannya, semoga bermanfaat. Terimakasih atas kunjungannya. SPSS On-Line Training Workshop O procedimento da série temporal fornece as ferramentas para a criação de modelos, aplicando um modelo existente para análise de séries temporais, decomposição sazonal e análise espectral de dados de séries temporais, bem como ferramentas para calcular autocorrelações e correlações cruzadas . Os seguintes dois clipes de filme demonstram como criar um modelo de série temporal de suavização exponencial e como aplicar um modelo de série temporal existente para analisar dados de séries temporais. MOVIE: Modelo de Suavização Exponencial MOVIE: Modelo ARIMA Ferramenta Expert Modeler Expert Nesta oficina on-line, você encontrará muitos clipes de filme. Cada clipe de filme demonstrará alguma utilização específica do SPSS. Criar modelos TS. Existem diferentes métodos disponíveis no SPSS para a criação de modelos de séries temporais. Existem procedimentos para modelos de suavização exponencial, univariada e multivariada Autoregressive Integrated Moving-Average (ARIMA). Estes procedimentos produzem previsões. Métodos de alisamento na previsão - Médias móveis, médias móveis ponderadas e métodos exponenciais de suavização são freqüentemente usados ​​na previsão. O principal objectivo de cada um destes métodos é suavizar as flutuações aleatórias na série temporal. Estes são eficazes quando a série temporal não exibe tendência significativa, efeitos cíclicos ou sazonais. Isto é, a série de tempo é estável. Os métodos de suavização são geralmente bons para as previsões de curto alcance. Médias móveis: Médias móveis usa a média dos valores de dados k mais recentes na série de tempo. Por definição, MA S (valores k mais recentes) / k. A MA média muda à medida que novas observações se tornam disponíveis. Média móvel ponderada: no método MA, cada ponto de dados recebe o mesmo peso. Na média móvel ponderada, usamos pesos diferentes para cada ponto de dados. Ao selecionar os pesos, calculamos a média ponderada dos valores de dados k mais recentes. Em muitos casos, o ponto de dados mais recente recebe o maior peso eo peso diminui para pontos de dados mais antigos. A soma dos pesos é igual a 1. Uma maneira de selecionar pesos é usar pesos que minimizem o critério de erro quadrático médio (MSE). Método de Suavização Exponencial. Este é um método de média ponderada especial. Este método seleciona o peso para a observação mais recente e os pesos para observações mais antigas são calculados automaticamente. Estes outros pesos diminuem à medida que as observações ficam mais velhas. O modelo de suavização exponencial básico é onde F t 1 previsão para o período t 1, t observação no período t. F t previsão para o período t. E um parâmetro de suavização (ou constante) (0 lt a lt1). Para uma série de tempo, definimos F 1 1 para o período 1 e as previsões subseqüentes para os períodos 2, 3, podem ser calculadas pela fórmula para F t 1. Usando esta abordagem, pode-se mostrar que o método de suavização exponencial é uma média ponderada de todos os pontos de dados anteriores na série de tempo. Uma vez conhecida, precisamos conhecer t e F t para calcular a previsão para o período t 1. Em geral, escolhemos a que minimiza o MSE. Simples: apropriado para séries em que não há tendência ou sazonalidade. Componente de média móvel (q): ordens de média móvel especificam como os desvios da média de série para os valores anteriores são usados ​​para prever os valores atuais. Expert Time Series Modeler determina automaticamente o melhor ajuste para os dados da série temporal. Por padrão, o Expert Modeler considera os modelos de suavização exponencial e ARIMA. O usuário pode selecionar apenas modelos ARIMA ou Smoothing e especificar a detecção automática de outliers. O clipe de filme a seguir demonstra como criar um modelo ARIMA usando o método ARIMA e o modelador de especialistas fornecido pelo SPSS. O conjunto de dados utilizado para esta demonstração é o conjunto de dados AirlinePassenger. Consulte a página Conjunto de dados para obter detalhes. Os dados dos passageiros das companhias aéreas são dados como série G no livro Time Series Analysis: Forecasting and Control por Box e Jenkins (1976). O número variável é o total mensal de passageiros em milhares. Na transformação logarítmica, os dados foram analisados ​​na literatura. Aplicar modelos de séries temporais. Esse procedimento carrega um modelo de série temporal existente a partir de um arquivo externo eo modelo é aplicado ao conjunto de dados SPSS ativo. Isso pode ser usado para obter previsões para séries para as quais dados novos ou revisados ​​estão disponíveis sem começar a construir um novo modelo. A caixa de diálogo principal é semelhante à caixa de diálogo principal Criar modelos. Análise Espectral. Este procedimento pode ser usado para mostrar o comportamento periódico em séries temporais. Gráficos de seqüência. Este procedimento é utilizado para traçar casos em sequência. Para executar este procedimento, você precisa de dados de séries temporais ou de um conjunto de dados que esteja classificado em determinada ordem significativa. Autocorrelações. Este procedimento traça a função de autocorrelação e a função de autocorrelação parcial de uma ou mais séries temporais. Cross-Correlations. Este procedimento traça a função de correlação cruzada de duas ou mais séries de tempo para defasagens positivas, negativas e zero. Consulte o Menu de Ajuda do SPSS para obter informações adicionais sobre o modelo de séries temporais aplicadas, análise espectral, gráficos de seqüência, autocorrelações e procedimentos de correlação cruzada. O seu Workshop de Treinamento SPSS on-line é desenvolvido pelo Dr. Carl Lee, Dr. Felix Famoye. Estudante assistentes Barbara Shelden e Albert Brown. Departamento de Matemática, Universidade Central de Michigan. Todos os direitos reservados.